短期个别风险模型与短期聚合风险模型关系

杨顺华 赵喜仓

（江苏大学财经学院， 江苏 镇江  212012）

    ［摘要］本文证明了短期个别风险模型当理赔次数随机变量为0-1分布时，可以寻求一个短期聚合风险模型与之等价；更为重要的，当个别风险模型的索赔次数随机变量服从较小参数的Poisson分布时，也可以寻求到一个复合Poisson分布与之近似。为此，本文解决了一些特定风险损失随机变量和的分布计算问题，Panjer迭代是其计算基础。
    ［关键词］风险理论； Panjer迭代 ；短期个别风险模型； 短期聚合风险模型
    ［中图分类号］F840.62［文献标识码］A［文章编号］1004-3306（2007）12-0058-02
    Abstract：It is proved that the shortterm Individual Risk Models are equivalent to the  shortterm Collective Risk Models when the numberof claim random variable has 01 distribution. Furthermore, the Individual Risk Model is close to a compound Poisson distribution if the numberofclaim random variable has a Poisson distribution with small parameter. Based on the Panjer Iteration, the problem of calculating distribution of random variable of aggregate claims is solved.
    Key words：risk theory; panjer iteration; shortterm individual risk models; shortterm collective risk models

    短期个别风险模型一般都要用到大次数的卷积运算，随着风险单位数或保单数目的增加，卷积运算的运算量会逐渐增大，并且十分繁琐，给风险管理决策人员及有关工程技术人员乃至军事决策者的快速反应造成极大障碍。为此，笔者对在实务中应用广泛的短期个别风险模型的运算进行了研究，并得出了一些结论,这些结论可有效地解决短期个别风险模型的计算问题。这些结论的核心思想是寻求短期个别风险模型与短期聚合风险模型的关系，而短期聚合风险模型中复合Poisson模型又可以用Panjer迭代算法解决总损失额的分布计算问题，由两个模型之间的关系，进而可以得到短期个别风险模型的总损失额或总和随机变量S的分布。
    一、结论与证明
结论一：对于个体风险模型：S=∑n()i=1Xi=∑n()i=1IiBi(1)
   其中：Ii的分布列为：
Ii()0 1P()1-pp而且Bi，i=1,2,…,n,那么有：S=∑n()i=1Bi(2)
当N~B（n，p）时，（1）与（2）表述的S是同一概率分布。
证明：对于（1）式，其矩母函数为：
MS(t)=E(ets)=Eet∑n()i=1Xi=Eet∑n()i=1IiBi=［E(etIiBi)］n
=E［E(etIiBi|Ii)］n
=P(Ii=0)E(e0)+P(Ii=1)E(etBi)n
=（1-p）•1+p•E（etBi)n=(1-p)+p•MBi(t)n(3)
再推导（2）式的矩母函数：
MS（t）=MN(ln MBi(t))=1-p+p•elnMBi(t)n
=1-p+pMBi(t)n（4）
可见（1）式与（2）式表达的随机变量S的矩母函数是一样的。故在题设的情形下，短期个别风险模型与短期聚合风险模型是统一的。
顺着这样的思路，我们可给出应用性更广泛的Poisson分布的一个猜想：
对于：S=∑n()i=1Xi=∑n()i=1IiBi(5)
Ii~P(λ)i=1,2,…,n与S=∑n()i=1Bi(6)
N~P(n•λ)
那么（5）式与（6）式表达的随机变量S是否是同一分布呢？我们给出证明如下。
证明：对于（5）式的S，其矩母函数为：
MS（t）=E(ets)=Eet∑n()i=1Xi=Eet∑n()i=1IiBi
=［E(etIiBi)］n=E［E(etIiBi|Ii)］n
=P(Ii=0)E(e0)+P(Ii=1)E(etBi)+P(Ii=2)
E(etBi•2)+P(Ii=3)E(etBi•3)+…n
=λ0()0!e-λ•1+λ1()1!e-λ•E（etBi）+λ2()2!e-λ•E（etBi•2）
+λ3()3!e-λ•E（etBi•3）+…n
［作者简介］杨顺华，博士，现供职于江苏大学财经学院； 赵喜仓，教授，博士生导师，现任江苏大学财经学院院长。
=［e-λ+λe-λMBi(t)+λ2()2!e-λMBi(2t)+λ3()3!e-λ
MBi(3t)+…］^n（7）
对于（6）式的随机变量S，我们求矩母函数如下：
MS(t)=MN(lnMB(t))
=eλ•n(MB(t)-1)=eλ(MB(t)-1)n（8）
（7）式与（8）式显然有较大差别，到此为止已证明我们的猜想是不正确的。但仔细观察（7）式并将其变形，我们仍会有重要收获。当λ→0时,隐去λ的高阶无穷小项,（7）式可变形为：1-λ+λMB(t)n（9）
显然，（9）式与（4）式是一致的。如果λ=p，我们就可得出结论二。
结论二：（5）式所描述的个别风险模型与（2）式所描述的聚合风险模型在一定的条件下是可相互近似的。也就是说（5）式中的比较小且λ=p时，（5）式所描述的短期个体风险模型可用（2）式描述的短期聚合风险模型近似。
结论二已经得出，为了寻求模型（5）与（6）的关系，我们继续观察（7）式与（8）式，仍然设λ比较小，由前述，（7）式与（9）式是近似的。同样的，此种情况下（8）式：eλ(MB(t)-1)n，也可由式：1+λ(MB(t)-1)n，即：1-λ+λMB(t)n  近似。
也就是说，当λ较小时，（7）式与（8）式也是近似的，由此我们可得出结论三。
结论三：在λ较小时，模型（5）与模型（6）是近似等价的，也就是说复合Poisson分布可近似描述（5）式的短期个别风险模型。
由前面的推理，由结论的传递性可知结论四。
结论四：当λ=p且较小时，（2）式、（5）式与（6）式描述的模型是可以近似的。
二、需要更进一步研究的问题
显然本文得出的结论需要更进一步、更细致的研究，方可以在实务中对近似结论有更好的把握。首先需要进行研究的是参数λ的敏感性分析，运用数值算法很快可以得到参数λ的变化对总额随机变量S分布的影响，对参数λ变化的理论分析可能会更加复杂一些，也会用到比较多的数学知识。尽管如此，这种研究是必需的，并且对参数λ的敏感性分析与本文证明结论合并在一起方是完整的结论。再者保单个数或风险单位数n的敏感性分析也是必要的，当然n并不影响本文结论的得出，只是运用中应当把握而已。另外本文的结论之所以有实际意义，很大部分原因归结为参数λ是比较小的缘故，这正好满足实务的要求，在实务中，确实有许多风险或我们研究的事件是小概率事件，否则保险公司风险就大了，况且大概率事件也不符合财务管理学与保险学的基本原理。但是我们必须明白参数λ“小”到什么程度，本文的结论是可靠的，并且可靠度又是如何，对这个问题的研究，基本上可以归并到第一个需要解决的问题中去。再一个必须思考的问题就是离散化的问题，由于Panjer迭代只对离散型随机变量有效，于是对连续型的个别理赔额的分布就存在离散化的问题了，针对不同的实务环境或具体问题肯定会有不同的离散化的原则，对这些原则的寻求是不可忽视的。最后一个问题就是本文的模型是以风险理论为背景的，但这个模型也可能是一个抽象的概率论模型，在实务中或许有更广泛的运用背景，只要是事件发生的概率可以表示成独立的乘积事件发生的概率的和的分布问题就可以联想到本文的模型。
［参考文献］
［1］谢志刚，韩天雄.风险理论与非寿险精算学［M］.南开大学出版社，2000.
［2］Panjer, H.H and Willmot, G.E.(1992). Insurance Risk Models. Schaumburg, Ⅲ: Society of Actuaries.
［3］Buhlmann, H..(1970). Mathe matical Methods in Risk Theory. New York: Springer.
［4］Daykin, C. D.,( 1994). Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall.
［5］魏宗舒，等.概率论与数理统计教程［M］.高等教育出版社，1983.
［编辑：苏北］
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同时，各级各类保险社团要加强交流合作，尤其是保险行业协会和保险学会之间、全国性保险社团与地方性保险社团之间，要明确各自的职能，做到有序分工、相互协调、加强合作，不断提高保险社团的工作水平和运行效率。通过各方面的共同努力，将保险社团建设成为组织完善、职能清晰、制度健全、奋发有为的社团组织。
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