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中国分红保险产品定价研究

周桦(中央财经大学保险学院,北京 100081)

    [摘要]本文利用金融市场无套利原理,讨论了通过计算风险中性概率下的合同负债期望现值,得出合同初始时刻负债的公允价值,进而确定分红保险的公平价格的定价方法。同时,还区分了保险人面对合同“资不抵债”时的两种处理方法,并分别计算破产概率和保险人需注入的新资本金的期望现值。此外,本文还讨论了分红保险合同期限长度,资产波动率,合同保障利率以及市场利率的变动对合同初始时刻负债公允价值,破产概率,保险人需注入新资本金的期望现值的影响。
    [关键词]分红保险定价;欧式期权;蒙特卡罗模拟;破产概率;公平价值
    [中图分类号]F840.32[文献标识码]A[文章编号]1004-3306(2008)12-0040-07

    一、导言
    分红保险,一种具有最低保障利率,并能使投保人分享保单盈余的险种。以保费收入衡量,分红保险在中国寿险市场上占有非常重要的地位。2002年,分红保险保费收入1 121亿元,在中国寿险市场中的分额首次超过50%,达54%,2003年~2006年,其保费收入占寿险保费收入的比重均超过60%,2007年受人民银行全年6次升息的影响,分红险保费收入当年增长5%,为2 221亿元,占寿险保费收入49%①。
    分红保险的定价,因其合同中含有内嵌期权的成分,所以有一定的难度。传统上,精算师回避对分红保险中期权价值的准确认定,而是采用一种选用保守的利率,死亡率、费用率假设的方法对分红保险产品定价。但是随着国际会计准则要求的发展,保险公司需要提交其负债的市场公允价值,传统的分红险定价方法是无法解决这个问题的,这就要求从理论上给出分红险内嵌期权价值计算的方法。此时,Briys and Varenne(1994)就具有了开创性的意义,他们将分红视为一种保险人出售给保单持有人的买权,同时将“保单破产”风险视为一种保险公司所持有的卖权,从而将一个分红保险中的保单持有人权利分拆成正的零息债券,正的分红买权,和负的破产卖权。在单期,HeathJarrowMorton的利率期限结构,几何布朗运动的资产变化的假设下,他们讨论了一个分红保险合同中负债的公允价值,得出了它们的显示解。此外,文章还指出,如果保单持有者在合同中期望所得(在风险中性概率下)等于他们在该合同初始时刻的付出,那么这就是一个公平合同。据此,公平的分红险合同的价格就应该为合同初始时刻的负债公允价值。本文也将采用这一思路讨论分红险合同的定价。该文章进而还探讨了在公平合同中的保障利率和分红比率的关系。Briys and Varenne(1997)改变利率假设为Vasicek(1977)的模型,同样得出了分红保险中保单持有人权利期望现值的显示解。Miltersen and Persson(2003)则细致的研究了一种分红策略下的合同公允价值。他们假设在分红保险合同中存在三个账户:保单持有人账户,保险人账户,和红利账户,在合同到期前的每年末,盈余按一定假设进入三个账户,在合同到期时,保单持有人账户和红利账户的正结余支付给保单持有人,而保险人账户余额,红利账户的亏损则由保险人承担。在BlackScholes框架下,他们讨论了三个账户的期望现值。此外,Jorgensen(2001)在Vasicek利率模型,Grosen and Jorgensen(2002)在固定利率假设下,讨论了红利在合同到期时支付,而破产可能发生在合同期间任意时刻的分红合同中的公允价值问题。

[作者简介]周桦,中央财经大学保险学院讲师,北京大学经济学院博士研究生。
这些研究的共同假设都是红利在保险期间内在负债账户中积累,而在保单到期日支付。但是这和中国的实际情况是不一致的。2008年初,泰康人寿就宣布将于当年派发18亿现金红利,新华人寿也将向客户派送总价逾10亿元的“特殊红利”。于是,本文假设在分红合同中保险人根据每一年的收益情况向保单持有人支付现金红利。我们将分析中国分红险的会计核算特点,并在固定利率,资产随机波动,多期现金分红的假设下研究中国分红保险产品的合同初始时刻的负债公允价值——在公平合同下,这即为分红保险产品的公平价格。二、中国分红保险合同账户设置及分红假设
假设一个分红保险合同期限固定为T年,比如10年,或20年,不考虑死亡因素,只考虑投资风险,并假设没有交易成本,保险公司不收取附加保费。
不失一般性,假设分红合同订立时,合同项下初始资产为A0=100,其中保单持有人缴纳趸缴保费L0=αA0,而保险人(股东)投入资本R0(1-α)A0。考虑中国的实际,资本和总保费比例一般在10%左右,选择参数α=0.9。
在合同运行中的每一年年末,如果保险公司不破产,则根据一定的会计要求计算当年盈余St,保险公司再根据一定的方式计算可分配盈余SAt,以及当期向保单持有者发放的现金红利Bt。如果保险公司在某年出现“资不抵债”的情况,则要么保险公司破产,要么股东注入新资本,本文将在第三节讨论这两种情况下的分红保险合同中负债公允价值的计算。
当前中国保险市场上,红利的发放一般有两种方式,保监会《分红保险管理暂行办法》中第四条规定:红利分配的方式包括增加保额或现金分配等。国外的文献(如Grosen and Jorgensen(2002),Miltersen and Persson(2003))集中讨论增加保额的红利分配方式,本文则讨论红利以现金分配方式发放下的分红保险合同中的负债公允价值。
下面具体来看各账户逐年变化和它们之间的关系:
设在t时刻,资产价值为At-,在进行现金分红后为At+,则有:At+=At--Bt
其中Bt为第t年年末,即t时刻的保单现金分红。
在资产方面,不考虑投资组合的优化问题,假设所有资产价值的运动满足随机微分方程:
dAt=μtAtdt+σtAtdWt
其中Wt为真实世界概率下的标准布朗运动。
假设市场无风险利率固定为r,资产波动率σ不变,于是在风险中性概率下,资产运动满足:
dAt=rAtdt+σAtdWQt
其中WQt为风险中性概率下的标准布朗运动。
根据上式,相邻两年的资产价值关系为:At-=At-1+×er-σ2[]2+σ(WQt-WQt-1)
  负债方面,保险公司以保障利率g保证保单持有人所缴保费至少以此利率复利积累,于是保障的负债积累关系为:
GLt=GLt-1×eg
根据保险公司会计核算公式,保单当期盈余应为:
St=(At--At-1+)-(GLt-GLt-1)
对于当年现金红利的计算,我们参考保监发[2003]67号文《个人分红保险精算规定》来进行分析。
该条文规定,当期分红水平Bt应当等于当期可分配盈余SAt的一个比例δ:
Bt=δ×SAt
δ被称为参与率或分红比率,中国保监会的监管要求是该比率不得低于70%。
注意上式中的当期可分配盈余并不等同于当期盈余,而是根据当期盈余和一个“分红保险特别储备”账
① 《中国保险年鉴》2000年~2008年。户SBt积累值计算得出的。根据规定,“分红保险特别储备”账户余额必须大于等于零,这个账户存在的意义在于调节红利分配的波动。我们假设,当当期盈余为负时,上一期的分红保险特别储备账户余额进入可分配盈余之中,使得保单持有人在该期依然可获得一定的红利;当当期盈余为正时,我们假设当期盈余中只有(1-η),而非全部进入可分配盈余计算中,同时,分红后的盈余按一定比例η进入分红保险特别储备账户中,增加该账户积累值。直观地解释是,盈余(1-η)部分进入当期盈余计算,盈余其余部分通过分红保险特别储备账户来调节未来亏损年份的红利分配。显然,该种红利分配方式较之直接使用当期盈余计算红利水平会使分红波动更小。
具体地,可分配盈余和分红特别储备账户的第t时刻的值分别为:
SAt=(1-η)×S+t+(1-sign(S+t)×SBt-1①
SBt=SBt-1-min[(Bt-S+t)+,SBt-1]+η×(St-Bt)+
其中,η在0到1之间取值,当η=0时,当期盈余完全反应在分红上,分红特别储备账户永远为0,不起调节作用。η=1时,当期盈余对当期分红完全不起作用,当期盈余必须通过进入分红特别储备账户,影响下一期的分红水平。在本文后面的模拟分析中,我们取η=0.3。
分红特别储备账户积累值在合同到期时如何分配?本文将其仅视为调节红利波动的工具,所以假设在T时刻,其完全支付给保险人。
当年盈余支付分红保险特别储备和红利后剩余的部分应由保险人承担,我们设立股东损益积累账户来表达股东的损益,并且假设,在合同整个期间中,股东不分红,到合同期满时,股东获得该账户的最后积累值。
从而t时刻积累的股东损益为:
CESt=CESt-1+[St-Bt+(Bt-S+t)+-η×(St-Bt)+]
本文着重考虑负债公允价值的计算,故对保险人的损益不做深入讨论。对于一个公平合同,保险人在T 时刻的积累损益的期望现值加上分红特别储备账户在期末时余额的期望现值,应等于其投入总资本的期望现值。
三、“资不抵债”时保险人的处理对策与合同负债的公允价值
上文已提及保险公司经营分红险时可能遇到的破产风险问题。当资产小于负债时,保险人有两种处理方法,相应的负债公允价值也有两种计算结果。
第一种情况,保险人可以宣布破产,所有资产在该时刻支付给保单持有人,合同终止。此时,合同负债的公允价值为在风险中性概率下的现金分红与保障负债积累额的期望现值。于是在初始时刻的合同负债公允价值(公平合同的定价)如下:
VL0=EQ0∑τ[]t=1Bt×e-rt+Aτ-×e-rt×It≤T+GLT×e-rt×It>T②
其中,τ为停时,表示破产时刻,It≤T,It>T为指示函数。概率PrQ(τ≤T)为风险中性概率下的破产概率。
采用这种假设时,可以清楚的看到各参数对保险公司破产的影响,下文表1给出了具体的破产概率值③。但是,基于以下两点原因,我们要讨论保险公司遇到“资不抵债”时的第二种办法:(1)保险公司往往经营多种险种,这只是其经营的一种险种,根据资本金分配规则,R0是保险公司对该险种的资本配置,但是,如果该险种出现资不抵债情况时,保险人不是宣布此险种破产,而是会利用公司其他资金注入此险种中。只要保险公司内不同险种的经营结果不是完全正相关的,那么在它们之间分散风险就是可行的。(2)中国保监会已于2005年颁布了《保险保障基金管理办法》,建立了保险业退市与风险防范机制,每个保险公司每年
①定义X+=max(X,0)。
②EQ0[•]表示在0时刻,风险中性概率下的条件期望值。
③这是风险中性概率下的破产概率值,如果要计算真实世界概率下的破产概率,在资产运动方程中要代入μ而非r进行计算。真实世界概率下破产概率要小于风险中性概率下的值,但是二者同单调性。均须按自留保费的一定比例上缴基金①,在保险公司资不抵债时,该基金可以补偿保单持有人的要求权。所以,即使保险公司只经营该一种险种,宣布破产也是困难的。
第二种情况,保险公司在合同运行中遇到“资不抵债”情况时,注入新的正资本金CFt,以使GLt=At-+CFt。在资产大于等于保障负债的年份:CFt=0。由于在该种情况下没有破产可能,合同负债在初始时刻的公允价值为:
VL0=EQ0∑T[]t=1Bt×e-rt+GLT×e-rT
同时,保险人需要注入的新资本金的期望现值为:
CF=EQ0∑T[]t=1CFt×e-rt
四、数值计算结果及其分析
(一)参数赋值与数值结果
我们以中国实际情况为背景对参数进行赋值。具体赋值如下:负债-资产比率α=0.9,当期盈余支付后进入分红特别储备账户的比例η=0.3,在我们的假设下这也意味着当期正盈余的1-η=70%进入了可分配盈余之中。保单参与率,即分红比例为δ=70%。为讨论合同期间长度,市场利率,资产波动率以及合同保障利率对分红保险负债公允价值的影响,我们将分别取T=5,10,20;r=2%,4%,6%;σ=0.05,0.1。0.15;g=1%,2.5%来计算分红保险负债公允价值。计算利用Monte Carlo模拟技术,模拟次数为100 000次。
保险人可破产时负债公允价值与破产概率
表1
σ[]0.05[]0.10[]0.15g[]1%[]2.5%[]1%[]2.5%[]1%[]2.5%T=5[]r=2%[]94.186 9
0.225 5[]96.927 9
0.453 0[]96.384 6
0.595 8[]97.793 2
0.713 0[]97.069 7
0.736 8[]98.147 9
0.798 9r=4%[]90.644 4
0.060 7[]93.471 1
0.174 1[]94.219 3
0.442 0[]96.009 4
0.563 5[]95.732 8
0.645 8[]96.940 5
0.716 4r=6%[]87.909 3
0.009 9[]90.283 8
0.039 8[]91.967 8
0.294 8[]93.887 9
0.405 5[]94.259 5
0.545 3[]95.391 5
0.626 1T=10[]r=2%[]96.776 0
0.518 0[]99.172 1
0.825 3[]98.584 3
0.845 2[]99.430 6
0.926 9[]98.915 9
0.919 9[]99.325 4
0.956 0r=4%[]91.897 5
0.145 6[]95.920 9
0.422 9[]96.712 2
0.682 9[]98.276 3
0.818 3[]98.015 8
0.852 1[]98.851 9
0.909 2r=6%[]87.736 6
0.020 1[]91.225 7
0.100 3[]94.193 7
0.478 5[]96.325 2
0.642 1[]96.926 6
0.752 0[]97.862 1
0.835 8T=20[]r=2%[]98.989 0
0.836 4[]99.906 7
0.987 1[]99.630 2
0.975 6[]99.954 1
0.995 3[]99.999 3
0.990 9[]99.995 0
0.997 4r=4%[]94.220 3
0.294 9[]98.426 6
0.745 1[]98.839 5
0.885 2[]99.723 2
0.964 8[]99.528 0
0.968 3[]99.805 4
0.987 7r=6%[]89.484 6
0.029 2[]93.518 6
0.200 7[]97.252 2
0.677 9[]98.747 3
0.853 8[]99.058 1
0.911 1[]99.498 1
0.961 2

①《保险保障基金管理办法》第6条第2款规定:有保证利率的长期人寿保险和长期健康保险,按照自留保费的0.15%缴纳(保险保障基金)。上文已经讨论,保险人面对“资不抵债”时的两种处理办法。第一种办法是保险人在“资不抵债”时破产,保单持有人在破产时刻获得所有资产,合同结束。此时的负债公允价值等于一个固定利率收益证券价值加上一个红利期权价值再减去破产卖权价值的结果。具体结果见表1。表1中第一行数值为合同初始时刻负债公允价值,第二行数值为保险人在风险中性概率下的破产概率。
保险人面对“资不抵债”的第二种处理方法是补充资本金。参数赋值不变,我们将计算结果列于表2中。表2中第一行数值表示补充资本金办法下的合同初始时刻负债的公允价值,第二行数值表示保险人在整个合同期间将补充的资本金的期望现值。
保险人不可破产时负债公允价值与保险人补充资本金期望现值
表2

σ[]0.05[]0.10[]0.15g[]1%[]2.5%[]1%[]2.5%[]1%[]2.5%T=5[]r=2%[]94.731 1
0.892 1[]98.931 9
2.567 5[]101.411 1
6.492 2[]105.910 4
9.603 0[]108.182 5
13.648 6[]112.867 7
17.539 0r=4%[]90.730 8
0.158 5[]93.854 0
0.613 7[]96.685 6
3.600 8[]100.263 9
5.666 0[]102.863 9
9.664 2[]106.890 6
12.610 6r=6%[]87.921 8
0.016 7[]90.269 6
0.096 1[]92.862 6
1.869 7[]95.809 8
3.101 7[]98.589 2
6.669 6[]101.912 9
8.856 5T=10[]r=2%[]99.316 5
3.307 2[]107.638 2
9.398 8[]112.188 4
15.872 7[]121.664 1
24.371 0[]125.429 1
29.951 0[]135.953 3
39.927 0r=4%[]92.077 0
0.476 0[]97.504 7
2.245 3[]102.731 9
8.253 2[]109.575 0
13.802 6[]114.452 7
19.946 6[]122.669 6
27.224 3r=6%[]87.673 4
0.039 1[]91.259 5
0.283 5[]96.207 7
3.793 4[]101.218 6
6.934 4[]106.274 2
12.762 4[]112.447 2
17.900 5T=20[]r=2%[]107.178 2
9.584 2[]125.262 5
26.466 3[]131.741 5
34.615 8[]154.089 3
56.695 3[]157.289 4
60.801 2[]183.667 5
87.454 8r=4%[]94.553 9
1.141 6[]103.509 5
6.389 7[]112.363 8
16.167 2[]126.097 4
29.157 4[]132.820 1
36.749 2[]150.345 5
54.208 1r=6%[]89.456 5
0.054 1[]93.618 7
0.617 0[]101.330 5
6.517 7[]109.392 3
13.262 9[]117.113 7
21.244 1[]128.739 8
32.260 8(二)各参数值对数值结果的影响
1. 市场利率变化对结果的影响
市场利率越大,负债公允价值越小,破产概率越小,保险人所需注入新资本越小。该结论非常直观:市场利率越大,贴现因子则会越小,从而公允价值越小;同时,市场利率越大,资产运动方程中的漂移项也越大,使得资本增长更大,于是减小破产可能和“资不抵债”时保险人注入的新资本相关。
2.合同保障利率变化对结果的影响
保障利率越大,负债公允价值越大,破产概率越大,保险人所需注入新资本越大。这个结论是显然的,保障利率规定了保险公司必须为保单持有人权利而增加的最低负债,其值越大,保险人每期增加的负债会越大,这导致负债公允价值增加,破产概率增大,保险人需注入新资本的期望现值增大。
3.合同期间长度对数值结果的影响
一般而言,合同期间越长,负债公允价值越大,破产概率越大,保险人所需注入新资本的期望现值越大。但是,这一结论需作进一步解释。
合同期间越长,负债公允价值越大有一定条件限制,注意表1中当T=5,r=6%,σ=0.05,g=1%时合同负债公允价值为87.909 3,而当T=10,其余条件不变时合同负债公允价值为87.736 6,此时合同期限增长,但负债公允价值却减小。原因在于市场利率大大高于了合同保障利率,此时合同越长对保单持有人越不利。这个现象即说明对于不同的市场利率和保障利率的不同组合,合同负债公允价值随合同期间长度的变化有极值点,不是完全单调的。现实中,由于市场竞争的需要,市场利率与合同保障利率之差不会太大,从而一般情况下,合同期间越长,合同负债的公允价值越大。
关于破产概率的比较,比如表1中,T=5,r=4%,σ=0.05,g=2.5%时的破产概率为0.174 1,而T=10,其他条件不变时的破产概率为0.422 9。显然,期限为10年的合同破产概率大大高于5年的合同。但是,当5年的合同在第5年末结束后,10年的合同并未结束,即是说两个5年的合同其实才相当于一个10年的合同。所以我们应该计算5年合同在10年的期间内破产概率是否小于10年的合同。以此例子而言,假设两个5年合同相互独立,则5年合同在10年期间的破产概率为,1-(1-0.174 1)2=0.317 889。如果加上这样的考虑,破产概率与合同期间长度的单调递增关系并不成立。
4.资产波动率对结果的影响
由表中数值所示,资产波动率越大,合同负债公允价值越大,破产概率越大,保险人所需注入新资本越大。直观地,资产波动率增大,则资产额变化增大,发生“资不抵债”的情况也会增加。实践中,资产组合包括权益类资产和固定收益证券,前者比例越高,资产组合的波动率就越大。通常各国都对资产组合中的股票类资产的比例进行监管,目的也是为了控制资产组合波动率从而减少保险人破产可能性。
(三)公平合同与分红保险产品的定价
所谓公平合同,即是在风险中性概率下,保单持有人支出的期望现值等于其收入的期望现值(合同初始时刻的负债公允价值)的合同。分红保险产品的定价(保单持有人的支出)应以合同初始时刻的负债公允价值给出。以此分析本文中的分红合同,保单持有人支出只在初始时刻发生,我们已假设其为90,而保单持有人的收入包括各期现金分红及合同到期时的负债积累金额,这些现金流在风险中性概率下的期望现值在表1,表2中已明确计算得出。表中显示只有当σ=0.05,r=6%,g=1%时合同负债公允价值才低于保单持有人的趸缴保费90,此时的合同有利于保险人。而其余情况均有利于保单持有人。金融市场无套利假设要求保险公司提供公平合同,否则套利机会出现,无论保险人还是保单持有人追逐套利的行动都将使合同价格向公平合同方向移动。
考虑现在中国的市场状况,保监会要求g≤2.5%,实际绝大多数公司因为市场竞争需要都选择2.5%为保障利率。市场利率以10年期国债到期收益率为参考,约为4%①。在T=10,σ=0.05,保险可破产时的合同初始时刻负债公允价值为91.897 5,保险人不可破产时为92.077 0。这两个数都略大于90。保险人需要通过收取附加保费,且提取前端费用的办法②,使合同达至公平。
五、结论
本文分析了多期现金分红保险合同中涉及的各个账户的逐年变动过程,并在固定利率和资产服从几何布朗运动的假设下,给出了通过计算风险中性概率下的合同负债期望现值从而得出合同负债的公允价值的计算方法。在公平合同下,分红保险产品合同初始时刻的负债公允价值就是该产品的公平价格。同时,我们还区分了保险人面对“资不抵债”时的两种处理方法,并分别计算破产概率和保险人注入新资本金的期望现值。此外,本文还讨论了分红保险合同期间长度,资产波动率,合同保障利率以及市场利率的变动对合同初始时刻负债公允价值,破产概率,保险人需注入新资本金的期望现值的影响。
本文的研究只考虑投资风险,这种分红合同实际是纯投资分红合同,如果加入死亡表因素,讨论会更为接近现实。在利率假设方面,如果引入随机利率模型将使定价模型更有参考价值,随机利率模型引入在方法上难度不大,但在数值运算上花费时间会巨增。另外,我们在文中假设没有退保发生,如果一旦考虑退保,美式期权定价方法将被引入到公允价值计算中,这将实质性地增加模型分析难度。

①中国债券信息网,2008年7月14日柜台交易报价系统显示:07特别国债05距到期日9年114天,到期收益率为4.383%,08国债10距到期日9年344天,到期收益率4.410%。
②在合同初始时刻保险人就提走保费的一定比例或一个固定的费用,剩余的保费才记入负债账户按保障利率积累。
总之,本文给出了分析现金分红保险产品定价的一个模型框架。随机利率模型,死亡因素与退保因素的引入都将有利于该模型的完善。
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Abstract:The participating policies have dominated the Chinese life insurance market in recent years. However, the pricing method of these policies lags behind the development of the insurance market. This article discussed how to price participating insurance policies under the no arbitrage assumption and fair contract conception. We also demonstrated how to calculate the ruin probability and the expectation of the extra required capital′s present value. Additionally, we indicated the movement of liability′s fair value, ruin probability and required capital by changes of contract′s period, assets′ volatility, guaranteed interest rate and market interest rate respectively.
Key words:pricing of participating policies; european option;monte carlo simulation; ruin probability; fair value
[编辑:沈雨青]