基于Vasicek模型下寿险产品定价研究

赵静宇 郭士杰 罗传光(南开大学经济学院风险管理与保险学系， 天津 300071)

    ［摘要］本文将随机利率引入传统寿险产品的定价问题中。实证检验表明，Vasicek模型适合目前我国的利率市场，所以我们假设利率符合Vasicek模型，进而推导出随机利率下寿险产品的定价公式，并举例分析。在实例计算中，利用蒙特卡罗模拟方法计算出的价格分布十分接近正态分布，这也从侧面反映出基于随机利率下的寿险产品定价的合理性。
    ［关键词］Vasicek模型；利率期限结构；人寿保险
    ［中图分类号］F840.62［文献标识码］A［文章编号］1004-3306（2008）07-0044-03
    Abstract：This paper introduced random interest rate into the pricing of traditional life insurance products. Exponential analysis indicated that the Vasicek model fit with the current interest rate market in China. Assuming that the interest rate complied with the Vasicek model, we arrived at the formula for life insurance product pricing, further demonstrated with an example. In the case study, the  price distribution derived through the Monte Carlo simulation method approximated a positive distribution, which also justified the rationale for life insurance product pricing on the basis of random interest.
Key words：Vasicek model; interest rate duration structure; life insurance

在保险公司面临的众多风险中，利率风险成为一个不可忽略的重要因素。以寿险产品为例，由于传统的保单在保险期内是以一个固定的预期利率贴现的方式来对寿险产品进行定价，这样做的优点是简化了计算。但市场利率不是一成不变的，当市场利率高于预期利率时，投保人可能会为获得更高的收益而退保，从而给保险公司带来偿付能力方面的风险。当市场利率低于保单的预期利率时，保险基金的收益水平下降，同样会给保险公司带来损失。
为了有效地规避利率波动给寿险公司带来的风险，应该采用随机利率来给寿险产品进行定价。我们考虑被广泛应用的Vasicek模型，首先以银行间7日拆借利率数据为样本，采用广义矩估计方法(Generalized Method of Moments，简记为GMM)对Vasicek 模型进行参数估计、检验。实证结果表明，Vasicek模型适合当前我国的利率市场。
然后，我们将Vasicek模型代入寿险产品的定价研究中，主要针对终身寿险产品，推导出在随机利率下该产品的定价公式，并举例加以分析。在实证分析中，利用蒙特卡罗模拟方法，计算出随机利率下的价格分布，同时给出合理的定价分位点，从而达到规避保险公司面临的利率风险的效果。
一、Vasicek模型实证分析
（一）离散化的Vasicek模型证券的收益和到期时间之间的关系，一般被称为利率的期限结构。随机利率模型已经成为当前研究利率期限结构必不可少的工具。Vasicek 在1977年提出一个满足均值回复的期限结构模型，其后该模型在理论和实证研究中被广泛应用。Vasicek模型认为短期利率r的风险中性过程服从：
drt=a(r-rt)dt+σdWt(1)
其中，rt是t时刻的利率，a为利率调整速度，r为长期回复均值，Wt为标准布朗运动。由(1)式易知其均值、方差分别为：
E［drt］=E［a(r-rt)］dt,ar［drt］=σ2dt(2)
我们采用Brennan 和 Schwartz (1982) 及 Sanders 和 Unal(1988)提出的如下形式的离散化模型。令yt=drt=rt-rt-1，Xt=rt，得：
rt+1-rt=α+βrt+εt+1(3)
E［εt+1］=0,E［ε2t+1］=σ2(4)
我们要以银行间7日拆借利率为样本，估计出α,β和σ2这三个参数。
（二）广义矩估计（GMM）
在金融实证研究领域里，广义矩估计方法是一个被广泛使用的时间序列工具。该方法的一般表述是由Hansen 发展起来的，详细的描述可以参考Hamilton 的时间序列分析的第
［作者简介］赵静宇，博士后，现供职于南开大学经济学院风险管理与保险学系；郭士杰、罗传光，南开大学经济学院风险管理与保险学系在读硕士研究生。
十四章。关于GMM的应用可参考Chan等人的文章。GMM方法的目的是选择使用如下二次型。
JT（θ)=fT(θ)′WT(θ)fT(θ)(5)
最小化的k维参数向量θ，其中fT(θ)为满足正交条件的向量即矩条件，WT(θ)是正定对称权重矩阵，T为样本观测值的个数。GMM的关键因素是要详细说明矩条件fT(θ)，矩条件通常是在模型误差项的基础上建立的。对于Vasicek模型，θ是关于α,β和σ2的参数向量，即k=3。由(3)式得εt+1=rt+1-rt-α-βrt，再由(4)式知矩条件只有两个，比待估参数少，这时选取工具变量zt=［1,rt］，得矩条件fT(θ)为：
fT(θ)=1[]T∑T[]t=1 εt+1
εt+1rt
ε2t+1-σ2
(ε2t+1-σ2)rt(6)
（三）数据及实证结果
拆借利率是发达货币市场中最基本、最核心的利率，许多其他利率都直接或间接地受其变动的影响，这种影响有时甚至是国际的(如美国联邦基金利率和LIBOR)。所以在本文中，我们选取相对活跃且有代表性的银行间7日拆借利率，时间范围是从2004年1月2日至2007年6月29日，共821个日交易观测值①，数据是年度化的本期加权平均利率。
在本文所用的模型中，二次型(5)式的最小值在模型为真的零假设下服从自由度为1的χ2分布。χ2值越小，说明模型被接受的可能性越大。关于参数的零假设是：三个参数全为零。利用M. Cliff②提供的GMM程序包，稍加修改，即得所需Matlab程序文件组。我们略去该程序细节，而只给出实证结果，见表1。
Vasicek模型实证结果
表1
参数及统计量
时间范围[]α[]r[]σ[]χ2值[]p值2004.1.2～
2007.6.29[]0.100 1[]0.021 5[]0.001 8[]4.503 0[]0.033 8在表1中，由于χ2值小于6.635，在99%的置信水平不能拒绝原假设。由此可推断模型适合所选取的数据。
参数显著性检验
表2
参数[]Vasicek模型参数值[]标准差[]t-统计量[]p-值α[]0.002 154[]0.000 520[]4.14[]0.000 0β[]-0.100 055[]0.025 536[]-3.92[]0.000 1σ2[]0.000 003[]0.000 000[]7.31[]0.000 0表2中，Vasicek模型的三个参数对应的p-值都小于0.01，在1%的显著性水平可以拒绝原假设，即认为这三个参数都是高度显著的。综合表1和表2，我们可得出结论：Vasicek模型适合当前我国的利率市场。
二、寿险产品定价分析
传统意义上的寿险，按照保险金给付方式分为定期寿险、两全保险和终身寿险；按照保费缴纳方式分为趸缴和年缴。我们主要考虑终身寿险，对该品种在随机利率下的定价问题进行研究，并举例加以分析。对于年缴的两全保险和定期保险，其相应的定价是类似的。在这一节里，如不作特别说明，所用记号均为通用的精算符号。
（一）终身寿险毛保费模型
假定终身寿险为k年期缴费，k=1时为趸缴。对于x岁的被保险人来讲，k∈［1,ω-x］。保费年初缴纳，保险责任发生时立即给付保险金。
    我们首先从固定利率下终身寿险的纯保费定价公式出发，将固定的利息力δ替换为远期瞬时收益率r(0,s)，得到随机利率下终身寿险的纯保费定价公式记为：
kP(Ax)′=A′x[]x:k┐′=∫ω-xxe-∫t0r(0,s)dstpxμx+tdt[]∑k-1[]h=0e-∫h0r(0,s)dshpx（7）
为了能进行数值计算，首先将收益率的连续过程离散化，我们选择依季度进展。e-∫t0r(0,s)ds和e-∫h0r(0,s)ds都是表示在远期瞬时收益率的基础上，即期的累积收益率贴现因子。我们选择保单年的各季度初的瞬时值代表相应季度的整体收益率。如第一个季度的贴现因子为［1+r(0,0)］-1[]4，第m季度的累计收益率贴现因子为∏m-1[]h=0［1+r(0,h[]4)］-1[]4。
然后，按照均匀分布对生命表的尾龄进行假设、插值，以满足四分之一年的区间运算。将连续的死亡过程离散化，假定死亡发生在各个区间的期中。这样对（7）式操作，即得到修订后的均衡纯保费公式。限于篇幅，我们略去这个过程而直接进入毛保费模型。
对于趸缴保费保单，设其附加费用率为α，则有：
毛保费G=纯保费P[]1-α
对于年缴均衡保费保单，由于前期费用支出较多，故首年费用附加率较大。而在以后各年中，附加费用率逐年递减，并通常稳定在一个固定的水平上。假定为k年缴费，每年的附加费用率分别为α1,α2,…,αk，均衡毛保费为G。则固定利率下x岁被保险人k年缴费的终身寿险保单的毛保费kG(Ax)为：
kG(Ax)=Ax[](1-α1)+…+(1-αk)e-δ(k-1)k-1px
=∫ω-xxe-δttpxμx+tdt[]∑k-1[]h=0(1-αh+1)e-hδhpx
依据上述假定和纯保费的修正方法同理可得随机利率下x岁被保险人k年缴终身寿险均衡毛保费为：
①数据来源：CCER经济金融数据库http://www.ccerdata.com/。
②http://mcliff.cob.vt.edu/progs.html。
kS(Ax)=∫ω-x0e-∫t0r(0,s)dstpxμx+tdt[]∑k-1[]h=0(1-αh+1)e-∫h0r(0,s)dshpx≈［1+r(0,0)］-1[]81[]4qx+∑∞[]f=1［∏f-1[]c=0［1+r(0,c[]4)］-1[]4］×［1+r(0,f[]4)］-1[]8f[]4｜1[]4qx[](1-α1)+∑k-1[]h=1(1-αh+1)×［∏4h-1[]c=0［1+r(0,c[]4)］-1[]4］hqx
（8）
（二）举例分析
由于随机利率每次演进的路径是不确定的，所以计算出的实际上是一种价格分布，它将会覆盖由固定利率所定出的单一价格。举例：
假定35岁的被保险人，投保一份保额为10 000元的终身寿险，保费20年缴，初始利率设为2.15%，死亡率采用我国非养老金男性生命表CL1，并假定尾龄服从UDD假设，死亡发生在每季度中点。设附加费用率如表3：
附加费用率
表3（单位：%）
年份[]1[]2[]3[]4[]5~20附加费率(%)[]40[]25[]15[]12[]8固定利率下：
20G（A35）=∫700e-δttp35μ35+tdt[]∑19[]h=0(1-αh+1)e-hδhp35
≈∑279[]f=0e-(f[]4+1[]8)δf[]4｜1[]4q35[]∑19[]h=0(1-αh+1)e-hδhp35
=0.4156[]14.3051=0.029053
所以，保额为10 000元、20年缴费、投保年龄为35岁的终身寿险保单的年缴毛保费为290.53元（见matlab程序pricing-assurance.m）。
随机利率Vasicek模型下：
价格
图1基于Vasicek模型的12 000次模拟的价格分布
Vasicek模型的参数选取见表1。设初始利率为2.15%，将k,x,ω等数值代入（8）式即得基于Vasicek模型下的毛保费定价公式。按照每一条收益率路径都会产生一个价格，用某个单一的模拟价格会由于信息的不完整而在定价上产生偏差，故需要进行多次模拟。这里采用蒙特卡罗模拟方法。当模拟多次时，得出的结果是一个分布图。横坐标表示价格的可能取值，而纵坐标代表了在总频数一定时，各个价格或者价格区间的频数，或者表示出现的频率、概率。当模拟的次数足够多时，根据大数法则，价格的分布将会趋于稳定。给出一个随机收益率基于Vasicek模型，模拟12 000次的价格分布图及两组关于价格的统计结果(见图1、表4，表5）：
基本统计量
表4
均值[]中位数[]标准差[]最小值[]最大值[]偏度291.24[]290.55[]20.61[]225.13[]391.50[]0.255 6定价分位点
表5
分位点（%）[]5[]50[]60[]70[]80[]95数值（元）[]258.62[]290.55[]295.46[]301.13[]308.36[]326.63从表4和表5可知，随机模拟的价格从最小值225.13元到最大值391.50元。对于价格的分布，90%的置信区间为［258.62，326.63］，几乎对称地分布在中位数两侧。
在固定利率下的价格为290.53元，十分接近中位数，且该价格对应的分位点是49.95%，这并非是巧合。由于固定利率定价时采用的利率是随机利率过程的长期均值回复水平，所以由此定出的价格是随机价格的中位数。由于模拟次数的限制和随机数的任意性，二者会存在偏差。但结果显示这个偏差是很小的。
偏度为0.255 6>0，价格服从正偏分布。我们可以从价格分布图上清楚地看到，价格分布整体上呈现的曲线几乎是对称的、且接近正态分布。而价格在中央区域的集中程度很高。
    均值大于中位数，即随机价格均值高于固定利率下价格。用均值291.24元定价比用中位数定价更加安全、合理。可以看出均值位于50%~60%的分位点所对应的价格之间。虽然相对略高的价格增加了投资人的投资成本，但却提高了保险公司的偿付能力，适当规避了保险公司面临的利率风险，从而使保险公司处于更安全的状况，所以我们推荐用均值定价。
本文作为一个理论研究，给出基于Vasicek模型下的寿险产品定价公式。虽然在实例计算中，我们计算的价格比传统的要略高，可能不会为公司所接受，但当寿险产品定价利率放开时，却可作为一种参考。
［参考文献］
［1］傅曼丽，屠梅曾，董荣杰.  Vasicek状态空间模型与上交所国债利率期限结构实证［J］. 系统工程理论方法应用，2005，14，(5)：458-461.
［2］李秀芳，傅安平.主编，寿险精算［M］.中国人民大学出版社，2002.
［3］卢仿先，张琳.主编，寿险精算数学［M］，中国财政经济出版社，2006.
［4］谢赤，吴雄伟.  基于Vasicek和CIR模型的中国货币市场利率行为实证分析［J］. 中国管理科学，2002，10，(3)：22-25.
［5］Black, K. Jr., and H. D. Skipper, Jr., (2000), Life & Health Insurance, thirteenth edition, Prentice-Hall Inc. 孙祁祥,郑伟,等译,人寿与健康保险，第十三版，经济科学出版社，2003.
［6］Brennan, M. J. and E. S. Schwartz, An equilibrium model of bond pricing and a test of market efficiency,［J］. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1982, 17：301-329.
［7］Chan, K. C., G. A. Karolyi, F. A. Longstaff, and A. B. Sanders, An empirical comparison of alternative models of the shortterm interest rate,［J］. Journal of Finance, 1992, 47：1209-1227.
［8］Hamilton, J. D., Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1994.
［9］Hansen,Lsrs P., Large sample properties of Generalized Method of Moments estimators,［J］. Econometrica, 1982,50：1029-1054.
［10］Sanders,A. B. and H. Unal, On the intertemporal behavior of the short-term rate of interest,［J］. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1988, 23：417-423.
［11］Vasicek,O., An equilibrium characterization of the term structure,［J］. Journal of Financial Economics, 1977,5：177-188.
［编辑：李芳］